PENDAHULUAN

Dalam matematika terapan sering ditemui masalah untuk mencari penyelesaian persamaan yang berbentuk f(x)=0 , dimana persamaan f(x) dapat berbentuk sebagai persamaan aljabar, persamaan transenden atau persamaan campuran.

Nilai-nilai x yang memenuhi disebut akar persamaan. Persoalan dalam mencari akar persamaan ini sering juga dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Sebelum ditemukannya komputer digital, terdapat sejumlah cara untuk mencari akar-akar persamaan seperti rumus kuadrat. Untuk beberapa kasus, akar-akar dapat diperoleh secara analitis, yakni penyelesaian yang dihasilkan akan memenuhi persamaan semula secara eksak. Namun masih ada banyak lagi yang kelihatannya sederhana seperti f(x)=e-x-x tetapi tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam kasus demikian salah satu alternatif penyelesaiannya adalah dengan metode numerik, khususnya yang paling tepat metode-metode iterasi numeris.

Dengan metode numerik penyelesaian yang dihasilkan berupa hampiran. Metode ini sangat penting dalam terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis.

Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar akan dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar  persamaan.  Metode  ini   berlaku   ketika   ingin   memecahkan  persamaan f(x)=0 dengan f(x) merupakan fungsi kontinu.

Metode Bagi-Dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, atau interval a dan b, dimana a< b yang harus memenuhi f(a).f(b)<0 sehingga selang (a,b) memuat satu akar riil. Mula-mula ditentukan titik tengah selang (a,b) sebut titik tengahnya c. Diantara dua selang baru yang diperoleh yakni (a,c) dan (c,b) salah satu diantaranya pasti memuat akar. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang memuat akar tersebut. Proses pembagiduaan selang ini diulang dan dilanjutkan sampai lebar yang ditinjau cukup kecil atau dengan kata lain untuk memperoleh taksiran/hampiran yang diperhalus.

Untuk mecari hampiran akar di Aplikasi Matlab, langkah-langkahnya sebagai berikut :

1.Pastikan teman-teman telah menginstal aplikasi matlab di pc masing- masing.

Buka aplikasinya dan pilih file kemudian pilih new – M-file atau teman-teman bisa menekan Ctrl+N untuk membuat file baru.

Tampilannya sebagai berikut :

1. Kemudian bikin variabel dengan penginputan yang dilakukan pada saat kita memulai programnya. Seperti contoh dibawah ini, -variabel “f” merupakan persamaan dari soal yang ingin dikerjakan.

  • -variabel “a”merupakan interval pertama [a,b]
  • -variabel “b” merupakan interval kedua [a,b]
  • -variabel “gal” merupakan nilai kesalahan relatif semu yang biasanya dilambangkan dengan ε
  • -variabel “it” merupakan iterasi dalam mencari hampiran akar
  • -variabel “c” merupakan titik tengah dari interval [a,b]

3. Buat tampilan untuk meletakkan proses iterasinya hingga selesai

disp('---------------------------------------------------------------------------------------------------
----------');
disp('iterasi	a	b	c	fa	fb	fc	selang	lebar');
disp('---------------------------------------------------------------------------------------------------
----------');

4. Selanjutnya masukkan perulangan dan rumus dari metode bagi dua

er=abs(c-a); while er > gal;
fa = subs (f, x, a);
fb = subs (f, x, b);
fc = subs (f, x, c);
fprintf ('\n  %2.d	%8.6f	%8.6f	%8.6f	%8.6f	%8.6f	%9.6f ', it, a, b, c, fa, fb, fc);

Ini merupakan perulangan untuk mencari hampiran akar yang dicari. Jika C ke-n dikurang A ke-n > dari galat, maka proses akan berjalan.f(a) merupakan fungsi f(x) yang telah di substitusikan oleh interval a, begitu juga dengan f(b) dan f(c). kemudian printf merupakan tempat outputan dari nilai yang di cari kedalam tampilan yang kita bikin tadi.

if(fa*fc)>0 er=abs(c-a); a=c;
fa=fc;
selang = '[b,c]'; else
er=abs(c-b); b=c;
fb=fc;
selang = '[c,a]'; end
c = (a+b)/2;
fprintf('  %s	%10.8f\n', selang, abs(b-a) ); it = it+1;

Merupakan rumus dari metode bagi dua. Jika f(a)*f(c)>0 maka a di iterasi selanjutnya merupakan nilai tengah c di iterasi sebelumnya dan f(a)=f(c). kemudian selang perbandingannya adalah [b,c], kemudian di teruskan dengan c=(a+b)/2 dan di printf selang perbandingan dan lebarnya. Jika f(a)*f(c)<0 maka b di iterasi selanjutnya merupakan nilai tengah c di iterasi sebelumnya dan f(b)=f(c). kemudian selang perbandingannya adalah [c,a], kemudian di teruskan dengan c=(a+b)/2 dan di printf selang perbandingan dan lebarnya. Kemudian setiap pengerjaannya iterasinya ditambah 1.

5. Untuk yang terakhir tinggal membuat outputan hasil dari hampiran akar yang di dapatkan.

clear clc

syms x;
f = input ('masukkan pers :'); 
a = input ('masukkan nilai a : '); 
b = input ('masukkan nilai b : ');
gal = input ('masukkan galat :'); it = 1;
c = (a+b)/2;
disp('------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------');
disp('iterasi a b c fa fb fc selang lebar');
disp('------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------');
er=abs(c-a);
while er > gal;

 fa = subs (f, x, a);
 fb = subs (f, x, b);
 fc = subs (f, x, c);
 fprintf ('\n %2.d %8.6f %8.6f %8.6f %8.6f %8.6f %9.6f ', it, a, b, c, fa,
fb, fc);

 if(fa*fc)>0
 er=abs(c-a);
 a=c;
 fa=fc;
 selang = '[b,c]';
 else
 er=abs(c-b);
 b=c;
 fb=fc;
 selang = '[c,a]';
 end
 c = (a+b)/2;
 fprintf(' %s %10.8f\n', selang, abs(b-a) );
 it = it+1;
end
akar = c;
fprintf('\nBerada Pada Iterasi ke %2.d: ', (it-1));
fprintf('\nAkar Perasamaan %8.6f : ', akar);

6. Seletah semuanya selesai tinggal dijalankan dengan cara menekan F5, selanjutnya masukkan persamaan dari soal, interval serta galatnya.

7. Maka hasil outputannya sebagai berikut :

Hampiran akar dari persamaan yang di inputkan tadi yaitu c = 1.365231 dan berada pada iterasi ke-17

REFERENSI